¿Cuánto cuesta subir un grado la calefacción?

Resumen
En la presente entrada se evalúa de una manera técnica el coste de incrementar un grado la temperatura de la calefacción de nuestra vivienda.

Abstract
This entry evaluates from a technical point of view, the cost of increasing the home temperature one degree.

----oooOOOooo----

"Pepe, tras recibir su última factura del gas, quedo asustado por el importe de la misma. No sabía qué parte del incremento del coste se debía a la petición de subir la temperatura de la calefacción por parte de su friolera mujer, y cual a la subida de tarifas. Buscó por Internet alguna explicación a tal fenómeno, pero al no encontrar un razonamiento objetivo, decidió preguntar a su amigo ingeniero" 

Según la Guía Práctica de la Energía del Instituto para la Diversificación y el Ahorro de la Energía (IDAE), Por cada grado que aumentemos la temperatura, se incrementa el consumo de energía aproximadamente en un 7%. Como normalmente los actos de fe los reduzco a aquello que no puedo cuantificar con las matemáticas, me he propuesto demostrar de donde sale ése 7% que tanto circula por internet y que hasta ahora no he visto expresado con el rigor científico que se merece.

Fig. 1-Pérdidas de calor en el hogar

La casa ideal sería adiabática (no produce intercambio de calor a través de sus paredes con el exterior). En invierno, ésto se traduce en que no perderíamos calor al exterior, y en verano no se  calentaría el interior de la casa. Cualquier intercambio de calor con el exterior, se traduce en dinero que estamos perdiendo, ya que en invierno tendríamos que encender la calefacción, y en verano el aire acondicionado.

Como las casas distan mucho de ser ideales, la realidad es que tenemos un flujo de energía que está atravesando la estructura de la casa (techo, paredes, suelo, ventanas...) y fugándose al exterior. A ese recinto, se le denomina técnicamente envolvente térmica.

1. UN POCO DE TEORÍA

Recapitulando un poco de teoría explicada de manera práctica, las pérdidas/ganancias de calor pueden ser debidas a tres tipos de transferencia energética:

• Conducción: Sólo se produce si hay diferencia de temperatura entre dos partes de un medio conductor (p.e. paredes, ventanas, techo suelo...). Éste tipo de transferencia sigue la ley de FOURIER.  

$$\dot{Q}=k\cdot S\cdot \Delta T\ \ (1)\\
\dot{Q}\ \[W]:Flujo\ \ calorico\ \ por \ \ unidad \ \ de \ \ tiempo\\
k [\frac{W}{m^{2}K}]:Conductividad \ \ termica\\
S[m^{2}]: Superficie \ \ de \ \ transferencia\\
\Delta T [K]: Diferencia\ \ de\ \ temperatura \ \ entre\ \ caras \ \ de\ \ la\ \ pared$$

• Convección: Es la que produce el viento al "rozar" las paredes del edificio. Podríamos decir que el viento "arranca" el calor de la superficie de la pared. Cuanto mayor sea su velocidad, más calor "robará" (cambia el coeficiente de película). Dentro de éstas pérdidas también está el calor que se va por la chimenea, la campana extractora de la cocina, las rejillas de ventilación. Éste tipo de transferencia sigue la ley de enfriamiento de NEWTON.

$$\dot{Q}=h_{c}\cdot S\cdot \Delta T\ \ (2) \\
\dot{Q}\ \[W]:Flujo\ \ calorico\ \ por \ \ unidad \ \ de \ \ tiempo\\
h_{c}[\frac{W}{m^{2}K}]:Coeficiente \ \ de \ \ pelicula \\
S[m^{2}]: Superficie \ \ de \ \ transferencia\\
\Delta T[K]: Diferencia\ \ de\ \ temperatura\ \ entre\ \ la\ \ superficie\ \ y\ \ el\ \ aire $$

• Radiación: Éste tipo de pérdidas que se producen por el simple hecho de tener temperatura. Durante el día, el sol calienta las paredes y techo cediendo calor al interior de la casa, y durante la noche, la casa radia calor hacia el espacio exterior, que se comporta como un cuerpo negro a muy baja temperatura. Éste tipo de transferencia sigue la ley de STEFAN-BOLTZMAN. En ingeniería, con la finalidad de hacer estimaciones rápidas, si consideramos un objeto pequeño (casa) radiando hacia un medio ambiente grande y considerado la envolvente térmica de la casa como casi negra, podemos escribir:

$$\dot{Q}=\varepsilon\cdot S\cdot \sigma \cdot (T_{1}^{4}-T_{2}^{4})\ \ (3) \\
\dot{Q}\ \[W]:Flujo\ \ calorico\ \ por \ \ unidad \ \ de \ \ tiempo\\
\varepsilon\ :Emitancia \ \ de\ \ la\ \ casa\\
S\ \ [m^{2}]: Superficie \ \ de \ \ transferencia \\
(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})\ \ [{K}^4]: Diferencia\ \ de\ \ temperatura \ \ entre\ \ pared\ \ y\ \ ambiente$$

El hecho de que la transferencia de calor por radiación dependa de la cuarta potencia, vuelve complicados los cálculos en ingeniería. Cuando T1 y T2 no difieren demasiado, conviene linealizar la ecuación  para obtener:

$$\dot{Q}= S\cdot \ h_{r} \cdot \Delta T\ \ (4)  \\
\dot{Q}\ \[W]:Flujo\ \ calorico\ \ por \ \ unidad \ \ de \ \ tiempo\\
h_{r} [\frac{W}{m^{2}K}]:Coeficiente\ \ de\ \ transferencia\ \ de\ \ calor\ \ por \ \ radiaccion$$

Siendo

 $$h_{r}=4\varepsilon _{1}\sigma T_{media}^{3}\ \ (5)\\
T_{media}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\ \ (6)$$

2. EL ENFOQUE PRÁCTICO

Lo primero que hay que tener en cuenta es que ENERGIA=DINERO. Un incremento de energía del 1% implica un incremento en la factura del 1% . Por lo tanto, cuando hablemos de incrementos de energía, hablaremos de incrementos de dinero en la misma proporción.

Teniendo en cuenta los tres mecanismos por los que se produce la transferencia de calor, para calcular la cantidad de energía que se pierde a través de la envolvente térmica, vamos a apoyarnos en la teoría de la transferencia de calor formulada por el físico y matemático francés FOURIER junto con la analogía eléctrica del problema.

El flujo de calor es proporcional a la superficie de transferencia S (envolvente térmica) y a la diferencia de temperatura entre el interior y exterior de la casa.

$$\dot{Q}=K\cdot S\cdot \Delta T\ \ (7) \\
\dot{Q}\ \ [W]:Flujo\ \ calorico\ \ por \ \ unidad \ \ de \ \ tiempo$$
Siendo
$$R_{th}=\frac{1}{KS}\ \ (8) \\
R_{th}: Resistencia \ \ Termica\ \ de\ \ la\ \ Envolvente $$

En ésta ecuación tenemos una gran incógnita en general difícil de calcular. Es la resistencia térmica de la envolvente. Dicha resistencia térmica, depende de muchos factores teniendo en cuenta que estamos metiendo en ella todos los mecanismos de transferencia de calor posibles (conducción, convencción y radiacción). Pero afortunadamente para la salud mental del ingeniero, en ingeniería las variables se vuelven aproximadamente constantes bajo ciertas condiciones de trabajo, y ésto se consigue linealizando las ecuaciones sobre una temperatura de trabajo.

Bajo las premisas anteriores, podemos suponer la resistencia térmica de la envolvente constante, y vemos claramente cómo el flujo calórico depende proporcionalmente de la diferencia de temperatura entre el interior de la casa y el exterior. Obviamente seguimos sin conocer el valor de la resistencia térmica ("constante" de proporcionalidad), pero no la vamos a necesitar porque se va a expresar el incremento energético de subir un grado la calefacción, como una relación de potencias caloríficas entre el "antes" y el "después".

Como todo en la vida, lo que es bueno para una cosa es malo para otra, y linealizar las ecuaciones no se iba a escapar de ésta máxima. Por ello, sólo vamos a poder analizar variaciones muy pequeñas de temperatura sobre el punto de trabajo elegido. En éste caso, nuestra variación de temperatura será incrementar/decrementar 1ºC.

Con todo lo anterior en mente, podemos escribir la ecuación linealizada en el punto de trabajo como:
$$\dot{Q}=\frac{T_{int}-T_{ext}}{R_{th}}\ \ (9) \\
\dot{Q}\ \ [W]:Energia\ \ perdida\ \ a\ \ traves\ \ de \ \ envolvente\ \ termica \\
T_{int}: Temperatura\ \ del\ \ interior \\
T_{ext}: Temperatura\ \ del\ \ exterior \\
R_{th}: Resistencia\ \ Termica\ \ envolvente$$

3. ¿QUÉ PASA SI INCREMENTO LA TEMPERATURA UN GRADO?

Flujo calórico antes de incrementar la temperatura interior Tint.
$$\dot{Q}_{T_{int}}=\frac{T_{int}-T_{ext}}{R_{th}}\ \ (10)$$

Flujo calórico después de incrementar la temperatura interior a Tint +dT.
$$\dot{Q}_{(T_{int}+dT)}=\frac{T_{int}+dT-T_{ext}}{R_{th}}\ \ (11)$$

Dividiendo las ecuaciones (10) y (11)
$$\frac{\dot{Q}_{(T_{int}+dT)}}{\dot{Q}_{T_{int}}}=1+\frac{dT}{T_{int}-T_{ext}}\ \ (12)$$


Y expresando el incremento del flujo calórico en términos relativos

$$Coste\ \ Relativo\ \%=\frac{\dot{Q}_{(T_{int}+dT)}-\dot{Q}_{T_{int}}}{\dot{Q}_{T_{int}}}\cdot 100 \ \ (13)$$

Es decir
$$Coste\ \ Relativo\ \%=\frac{dT}{T_{int}-T{ext}}\cdot 100\ \ (14) $$

4. CONCLUSIONES

• Teniendo en cuenta que la temperatura media de España en invierno es de 8.1ºC, y suponiendo una temperatura en el interior de la casa de 21ºC, incrementar un grado la temperatura supone un incremento del coste alrededor del 8%.

$$Coste\ \ Relativo\ \%=\frac{1}{21^{\circ}-8.1^{\circ}}\cdot 100=7.75\%$$

• Hablando en términos relativos entre facturas, y por increíble que resulte, cuanto más frío haga fuera, menos notaremos el el coste de subir un grado la calefacción. Es decir, cuanto mayor sea el salto térmico entre el exterior y el interior, menos se notará en la factura tal y como se muestra en la figura 2.

• Otro punto curioso y a la vez lógico es cuando la Text=Tint+1. En éste caso incrementar un grado la calefacción supone un incremento de coste de -100%, es decir, pasamos a coste 0 por no haber flujo de energía entre el exterior y el interior.

Fig 2.- Coste relativo incrementar 1ºC en función de la temperatura exterior

• Como consecuencia de lo anterior, el coste relativo de subir un grado la calefacción es diferente según el país de estudio (ya que cambia su temperatura media de invierno).

REFERENCIAS
[1] Media de temperaturas en España en invierno.
[2] Guía práctica de la energía (IDAE).