Resumen
0.35 es una de las reglas de oro que relaciona el ancho de banda de una señal con su tiempo de subida. Pero... ¿De dónde sale éste número mágico?
Abstract
0.35 is one of the rule of thumb connecting the bandwidth and the rise time. But... Where does this number come from?
----oooOOOooo----
Muchas veces el ingeniero se enfrenta a la terrible decisión de seleccionar un osciloscopio para su sistema de medida. Entre muchas de las preguntas que se cuestiona, quizás la más básica es la selección del ancho de banda del mismo, para reproducir la señal medida sin errores. La respuesta parece obvia. El osciloscopio tendrá al menos un ancho de banda igual o mayor que el de la señal a medir. Pero... ¿Cómo cuantificar el ancho de banda de una señal?
El ancho de banda ocupado por una señal se puede caracterizar conociendo su tiempo se subida. Para el análisis teórico partiremos de la siguiente hipótesis:
- La señal sigue la respuesta de un sistema de primer orden al estímulo escalón unitario. Para el desarrollo tomaremos como referencia un sistema de ganancia unidad.
$$y(s)=\frac{1}{1+\tau_{p}S}\ \ (1)$$
Éste sistema presenta un polo en
$$f_{p}[Hz]=\frac{1}{2\pi\tau_{p}}\ \ (2)$$
$$\tau_{p}=\frac{1}{2\pi f_{p}}\ \ (3)$$
Por lo tanto, su respuesta temporal será:
$$y(t)=1-e^{\frac{t}{\tau_{p}}}\ \ (4)$$
Si despejamos el tiempo de la ecuación (4) tenemos
$$t=-\tau _{p}\cdot ln(1-y(t))\ \ (5)$$
Si despejamos el tiempo de la ecuación (4) tenemos
$$t=-\tau _{p}\cdot ln(1-y(t))\ \ (5)$$
Se define tiempo de subida (Tr: rise time) como el tiempo necesario para que la señal pase del 10% al 90% de su amplitud. Con éste criterio definimos:
$$T_{r}=t_{2}-t_{1}\ \ (6) \\
t_{1}: Tiempo\ \ al\ \ 10\%\ \ amplitud\ \ (7)\\
t_{2}: Tiempo\ \ al\ \ 90\%\ \ amplitud\ \ (8)$$
Con las consideraciones (7) y (8) sustituyendo (5) en la ecuación (6) tenemost_{1}: Tiempo\ \ al\ \ 10\%\ \ amplitud\ \ (7)\\
t_{2}: Tiempo\ \ al\ \ 90\%\ \ amplitud\ \ (8)$$
$$T_{r}=-\tau _{p}\cdot ln(1-0.9)+\tau _{p}\cdot ln(1-0.1)\\
T_{r}=\tau _{p}\cdot ln(9)\ \ (9)$$
Sustituyendo la ecuación (3) en (9) podemos escribir
$$f_{p}=\frac{ln(9)}{2\pi T_{r}}\ \ (10)$$
$$f_{p}=\frac{0.3496}{T_{r}}\simeq \frac{0.35}{T_{r}}\ \ (11)$$
----oooOOOooo----
EJEMPLO
Pregunta: Se desea medir una señal cuadrada que presenta un tiempo de subida de 30 ns. ¿Qué ancho de banda mínimo necesita el osciloscopio para reproducir fielmente la señal?
Respuesta:
Para averiguar el ancho de banda de la señal, basta con aplicar la ecuación (11)
$$\frac{0.35}{20\ \ ns}=17.5\ \ MHz$$
La señal a medir tiene un ancho de banda de 17.5 MHz. El osciloscopio junto con la sonda deberá tener como mínimo un ancho de banda mayor. Para evitar notar el propio tiempo de subida del osciloscopio, elegiremos un osciloscopio con un ancho de banda al menos 5 veces superior.
NOTA:
El tiempo se subida que se verá en la pantalla del osciloscopio será la raiz cuadrada de la suma de cuadrados de todos los tiempos de subida implicados (señal, sonda, osciloscopio). Es decir:
$$T_{r_{total}}=\sqrt{T_{r_{signal}}^2+T_{r_{sonda}}^2+T_{r_{osciloscopio}}^2}\ \ (12)$$
$$T_{r_{total}}=\sqrt{T_{r_{signal}}^2+T_{r_{sonda}}^2+T_{r_{osciloscopio}}^2}\ \ (12)$$
Da gusto leer estas cosas, y más entenderlas, y más que alguien las comparta.
ResponderEliminarGracias